半環 半環合同と剰余半環
半環における合同関係は２つの演算に関するものです。この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
イデアル
半環 
環 極大イデアル
可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ,イデアル \(J\) に対して \[I\subset J\subset R\Longrightarrow J=I\ \ {\rm or}\ \ J=R\]を満たすとき, \(I\) を \(R\) の極大イデアル(maximal ideal)という.
環 素イデアル
可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ\[a,b\in R,\ ab\in I\Longrightarrow a\in I\ \ {\rm or}\ \ b\in I\]を満たすとき, \(I\) を \(R\) の素イデアル(prime ideal)という.
半群 半群の素イデアル
半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。
半環 半環のイデアル
半環 \(S\) の部分集合 \(I\) が\(a,b\in I\ \Longrightarrow\ a+b\in I\)\(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\)を満たすとき, \(I\) を \(S\) の左イデアル(left ideal)という. また,
環 剰余環
環 \(R\) とその両側イデアル \(I\) に対して, \(R\) 上の関係 \(\sim_I\) を \[a\sim_I b \Longleftrightarrow a-b\in I\] で定義すると \(\sim_I\) は同値関係となる. 同値類の集合 \(R/\sim_I\) を \(R/I\) と書く.
環 イデアル
環Rの部分集合Iが \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ -a+b\in I\) \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\) を満たすとき,IをRの左イデアル(left ideal)という.
半群 Rees剰余半群
半群のイデアルに対して、合同関係を定めることが出来て、それによる剰余を考えられます。これは群と正規部分群の関係に類似していますが、相違点もあります。
半群 部分半群とイデアル
半群を考えていく上で必要不可欠な部分半群とイデアルについて紹介します。