整数論

自然数や整数の基本的な性質である除法の原理を紹介します。 除法の原理 整数 \(a,b\) に対して \(b\neq0\) ならば \ となる整数 \(q,r\) が一意的に存在する. 証明 まず自然数\(a,b\) に対して \(b\ne...

自然数に順序が定義されたように、整数にも順序を定義できます。 自然数の順序を用いて、整数に順序を定義します。 ここで定義する順序は通常の整数の大小関係に一致します。

自然数を使って整数を定義します。 整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。

初等整数論において、基本的であり重要な素因数分解の一意性について紹介します。 その数がどんなものなのかを素数と積を使った目線で捉えます。

整数の中で、基本的で非常に重要な素数について紹介します。 研究の対象としてよく扱われていますが、未だに分かっていない事も多いです。

最大公約数と最小公倍数の関係を紹介します。 ２つの整数の最大公約数と最小公倍数には、きれいな関係式があります。

整数同士の関係を考える上で基本となる互いに素という概念を紹介します。 最大公約数や最小公倍数をなどと関連が深いです。 整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) が互いに素(coprime)であるとは \[\mathrm{gcd}(a_1, a_2, \ldots, a_n)=1\] が成り立っていることをいう.

複数の整数とその最大公約数の関係を表すベズーの等式を紹介します。 ベズーの等式(Bézout's identity) 整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) に対して \(g=\mathrm{gcd}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\) とおくと, \[g=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\] となる整数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) が存在する.

最小公倍数の性質について紹介します。