半群 全変換半群
集合 \(X\) 上の変換全体の集合を \(T_X\) や \(\mathcal{T}_X\) とかく. \(T_X\) は写像の合成を演算として半群をなす. これを集合 \(X\) 上の全変換半群という. さらに恒等写像 \({\rm id}_X\) を単位元とするモノイドでもあるので, 全変換モノイド((full) transformation monoid)ともいう.
集合論
半群 
集合論 全単射と逆写像
集合を比べたり、構造を調べたりする際に大活躍する全単射と逆写像を紹介します。
集合論 全射と単射
写像の基本概念として全射と単射があります。これらを利用して、集合の”大きさ”を比べたり、構造を比べたり、様々な用途があります。
集合論 合成写像
2つの写像 \(f\ \colon A \rightarrow B,\ g\ \colon B \rightarrow C \) があるとき, 任意の \(a\in A\) に対して \((g\circ f)(a) = g(f(a))\) と定義すると \(g\circ f\) は\(A\) から \(C\) への写像となる. この \(g\circ f\ \colon A \rightarrow C \) を \(f\) と \(g\) の合成写像という. \(g\circ f\) を単に \(gf\) と書くこともある.
集合論 恒等写像
恒等写像(identity mapping, identity function)空でない集合 \(S\) に対して, 写像 \({\rm id}_S\ \colon\ S\rightarrow S\) を \[{\rm id}_S(x)=x\] で定義する. \({\rm id}_S\) を \(S\) 上の恒等写像という. \(I_S, \mathbf{1}_S\) と書くこともある. 混同しない場合は単に \({\rm id}, I, \mathbf{1}\) と書く.
集合論 写像
数学を学ぶ上で必要不可欠な概念, 写像について紹介します。写像を使って集合と集合を結び付けて、関係性などを調べます。
集合論 商集合
集合を同値関係を用いて分割することが出来ます。数学を学んでいく上での必須事項です。
集合論 同値類
集合上の同値関係を用いて集合を分割することが出来ます。ある性質を持つ元をまとめて考える事で、対象が調べやすくなります。
集合論 Well-defined
集合 \(X\) 上の同値関係 \(\sim\) と, 集合 \(Y\) への写像 \(f\ \colon\ X \to Y\) があるときに,\(f\) の性質を受け継いだ, 商集合 \(X/{\sim}\) から \(Y\) への写像 \(\tilde{f}\ \colon\ X/{\sim} \to Y\) を考えると良いことがある場合があります。この写像を定義できるかを判定する基準としてwell-definedという概念があります。日本語的には「矛盾なく定義される」とか言います。
集合論 同値関係
二項関係の中でも重要な概念である同値関係について紹介します。集合に対して、ある性質を持ったものをまとめて考える際によく用います。同値関係(equivalence relation)であるとは反射律、対称律、推移律を満たすことをいう。