群
群
群 
群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。
可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して
\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.
\(\sim\) は半群合同である.
集合論 順序群
群に順序が入っている構造である順序群を紹介します。
付値論などでよく出てきます。
初等整数論 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
群 群の直積
\(G_1,G_2\) を群として, \(e_1,e_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[G_1\times G_2=\left\{\ (g_1,g_2)\ |\ g_1\in G_1,\ g_2\in G_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\)を \((g_1,g_2),\ (g_1^\prime,g_2^\prime)\in G_1\times G_2\) に対して \[(g_1,g_2)\cdot (g_1^\prime,g_2^\prime)=(g_1g_1^\prime,g_2g_2^\prime)\] で定義すると \(G_1\times G_2\) は群となる.この群を \(G_1,G_2\) の直積(direct product)という.
群 群の準同型定理(第三同型定理)
第一同型定理、第二同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第三同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N, M\) は正規部分群であって \(N\supset M\) を満たすものとする.このとき \(N/M\) は \(G/...
群 群の準同型定理(第二同型定理)
第一同型定理、第三同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第二同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N\) を正規部分群, \(H\) を部分群とするとき, \(HN=NH\) は \(G\) の部分群\(N\) は \(H...
群 部分群の指数とラグランジュの定理
\(G\) を群, \(H\) をその部分群とする.
\(G/H\) の基数(要素の数), つまり左剰余類の数を \(H\) の \(G\) における指数(index)といい, \((G:H),\ |G:H|,\ [G:H]\) などと表す.
群 群の準同型定理(第一同型定理)
２つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\
x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x) を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.
群 像と核
２つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
群 巡回群
群 Gがある元 aを用いて\(G=\langle a\rangle\)と書けるとき, Gを巡回群(cyclic group)と呼ぶ.
このとき, aをGの生成元といい, Gの位数をaの位数(order)といい \(\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}(a), |a|\) などで表す.