行列

\(S\) を集合, \(m, n\) を自然数とするとき \(a_{ij} \in S\ (i=1,2,\ldots,m, j=1,2,\ldots,n)\) に対して
\[
(a_{ij})_{\{1\le i\le m,1\le j\le n\}} = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\]
を \(m\times n\) 行列(matrix)や \(m\)行\(n\)列行列という.
\(m\times n\) を行列のサイズ(size)または型(order)と呼ぶ.
サイズが明らかな場合は \((a_{ij})_{\{1\le i\le m,1\le j\le n\}}\) を単純に \((a_{ij})\) と書く.
\(1\times 1\)行列は普通, 括弧を付けずに集合 \(S\) の元として扱う.
集合 \(S\) の元を要素に持つ行列を \(S\) 上の行列という.

横に並んだ元の組
\[ a_{i1}\ a_{i2}\ \cdots\ a_{in}\]
を行列の第 \(i\) 行(\(i\)-th row)という.

また縦に並んだ元の組
\[ a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\]
を行列の第 \(j\) 列(\(j\)-th column)という.

さらに, 第 \(i\) 行と第 \(j\) 列に共通した元 \(a_{ij}\) を行列の \((i,j)\) 成分(element) という.
\[
\begin{array}{cc}
&
\begin{array}{cccc}
第1列 & 第2列 & \cdots & 第n列
\end{array} \\
\begin{array}{cccc}
第1行\\
第2行\\
\vdots\\
第m行
\end{array} &
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)

\end{array}
\]

１つの行からなる \(1\times n\) 行列を \(n\)次行ベクトル(row vector) という.\[
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}\]

１つの列からなる \(m\times 1\) 行列を \(m\)次列ベクトル(column vector) という.\[
\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]

\(n\) を自然数とするとき \(n\times n\)行列を \(n\)次正方行列(square matrix of order \(n\)) と呼ぶ.
また, この行列の \(n\) 個の成分 \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) を(主)対角成分(main diagonal) と呼ぶ.
\[\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)\]