素イデアル

において非常に重要な概念である素イデアルについて紹介します。

素イデアルは特殊なイデアルであり、素数を拡張した概念です。

素イデアル(prime ideal)

可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ

\[a,b\in R,\ ab\in I\Longrightarrow a\in I\ \ {\rm or}\ \ b\in I\]

を満たすとき, \(I\) を \(R\) の素イデアル(prime ideal)という.

整数環 \(\mathbf{Z}\) と素数 \(p\) に対して\[p\mathbf{Z}=\{\ n\in\mathbf{Z}\ \mid\ p\mid n\ \}\] は \(\mathbf{Z}\) の素イデアルです。

例(素イデアルでない)

整数環 \(\mathbf{Z}\) と合成数 \(n\) に対して\[n\mathbf{Z}=\{\ m\in\mathbf{Z}\ \mid\ n\mid m\ \}\] は \(\mathbf{Z}\) の素イデアルではありません。
例えば \(n=6\) のとき \(6\in 6\mathbf{Z}\) であるが \(6=2\cdot3\) であり \(2, 3\notin6\mathbf{Z}\) なので \(6\mathbf{Z}\) は素イデアルでない。

素イデアルの剰余環

可換環 \(R\) とそのイデアル \(I\) に対して次は同値;

  1. \(I\) は素イデアルである.
  2. 剰余環 \(R/I\) は整域である.
証明

1 \(\Longrightarrow\) 2.
\(a,b\in R\) に対して \((a+I)(b+I)=I\) とすると \((a+I)(b+I)=ab+I=I\) であるから
\(ab\in I\) となるが \(I\) は素イデアルだから \(a\in I\) または \(b\in I\).
つまり \(a+I=I\) または \(b+I=I\) となるので \(R/I\) は整域である.

2 \(\Longrightarrow\) 1.
\(a,b\in R\) に対して \(ab\in I\) とすると \((a+I)(b+I)=ab+I=I\) であるから
\(R/I\) は整域であることより \(a+I=I\) または \(b+I=I\).
つまり \(a\in I\) または \(b\in I\) となるので \(I\) は素イデアルである.

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