半群の素イデアル

半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。

素イデアル(prime ideal)

半群 \(S\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ

\[a,b\in S,\ ab\in I\Longrightarrow a\in I\ \ {\rm or}\ \ b\in I\]

を満たすとき, \(I\) を \(S\) の素イデアル(prime ideal)という.

例

整数環 \(\mathbf{Z}\) は乗法に関して半群ですが、素数 \(p,q\) に対して\[P=p\mathbf{Z}\cup q\mathbf{Z}=\{n\in\mathbf{Z}\ \mid\ p\mid n\ {\rm または}\ q\mid n\}\] は \(\mathbf{Z}\) の半群としての素イデアルです。
しかし \(P\) は環としての素イデアルではありません。