可換環における商体について紹介します。
商体
\(R\) を可換な整域とする. \(S=R\,\backslash\{0\}\) とすると \(S\) は積閉集合である.
この \(S\) による局所化 \(S^{-1}R\) は \(R\) を含む最小の体となり,
\(R\) の商体(quotient field)や分数体(fraction field)と呼ばれる.
また, \(\mathrm{Q}(R), \mathrm{Quot}(R),\mathrm{Frac}(R)\) のように書いたりする.
証明
商体が体であることを示す.
\(\mathrm{Q}(R)=S^{-1}R\) は可換環なので, \(0\) でない任意の元が逆元を持つことを示せばよい.
\(K=\mathrm{Q}(R)\) と置き, \(0\) でない \(k\in K\) を取る.
すると \(0\) でない \(a\in R\) と \(b\in S\) を用いて \(k=\frac{a}{b}\) と書ける.
今, \(S=R\backslash\{0\}\) より \(a\in S\) なので \(\frac{b}{a}\in K\) となるが \(\frac{a}{b}\frac{b}{a}=1\) なので \(k\) は逆元を持つ.
以上より \(\mathrm{Q}(R)\) は体である.
商体が \(R\) を含む最小の体であることを示す.
\(F\) を \(R\) を含む体とする. 任意の \(k\in K\) は \(a\in R\) と \(b\in S\) を用いて \(k=\frac{a}{b}=ab^{-1}\) と書ける.
\(a\in R\) なので \(a\in F\).
また, \(b\in S\subset R\) なので \(b\in F\). さらに \(b\neq 0\)で \(F\) は体なので \(b^{-1}\in F\).
よって, \(k=ab^{-1}\in F\). ゆえに \(K\subset F\).
例
整数環 \(\mathbf{Z}\) の商体は有理数体 \(\mathbf{Q}\).
ガウス整数環 \(\mathbf{Z}[i]=\{a+bi\ |\ a,b\in\mathbf{Z}\}\) の商体は \(\{x+yi\ |\ x,y\in\mathbf{Q}\}\).
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