環に対する体のような位置付けで、半環に対して半体という代数的構造があります。
半体では加法、乗法、除法が自由に出来るイメージです。
半体の定義
空でない集合 \(S\) が半体(semifield)であるとは, \(S\) は半環であり,
\(0\) でない \(a\in S\) に対して, ある \(b\in S\) が存在して \(ab=ba=1\) を満たすことをいう.
言い換えると, \((S\backslash\{0\},\ \cdot\ )\) が群であることをいう.
\(0\) でない \(a\in S\) に対して, \(ab=ba=1\) を満たす \(b\in S\) を \(a^{-1}\) と書く.
例
非負有理数全体の集合 \(\mathbf{Q}_{\geq0}\), 非負実数全体の集合 \(\mathbf{R}_{\geq0}\) は通常の和と積で半体となります。
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