半群のときのように、半環に0-添加を考える事が出来ます。
半環の0-添加
半環 \(S\) に対して, \(S\) の零元を \(0_S\) とする.
\(S\) に新たな元 \(0\) を加えた集合 \(S^0=S\cup\{0\}\) を考える.
\(S^0\) 上の演算 \(+,\ \cdot\) を \(a,b\in S\) に対しては \(S\) 上の演算 \(a+b, ab\) で定義し,
\(a\in S^0\) に対しては\[
a+0=0+a=a\\
a\cdot0=0\cdot a=0
\] で新しい元 \(0\) の演算と定義すると \(S^0\) は半環となる.
この \(S^0\) を \(S\) の0-添加という.
このとき \(0_S\) は \(S^0\) の零元ではない.
0-添加の基本性質
\(S\) を半環とする.
- \(S\) は \(S^0\) の部分半環である.
- \(S\) が可換半環ならば \(S^0\) も可換半環である.
例
\(S=\mathbf{B}\times\mathbf{B}=\mathbf{B}^2\) (\(\mathbf{B}\) はブール半環) とするとき, このとき, \(S\) と \(S^0\) を図示すると下図のようになっています。
\(S\)
\(S^0\)
\(S\) の零元は \((0,0)\) ですが \(S^0\) の零元は \(0\) です。
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