環では整域であれば簡約律が成り立ちましたが、半環ではそうではありません。
零因子
\(S\) を半環とする. \(a\in S\) に対して,
\(0\) でない \(b\in S\) が存在して \(ab=0\) となるとき \(a\) を左零因子(left zero divisor)という.
\(0\) でない \(c\in S\) が存在して \(ca=0\) となるとき \(a\) を右零因子(right zero divisor)という.
左零因子と右零因子を総称して零因子(zero divisor)という.
可換の時は左と右に区別は無いので単に零因子と呼ぶ.
整性
半環 \(S\) が \(0\) 以外に零因子を持たないとき, \(S\) は整(integral)であるという.
整性の条件
\(S\) を半環とする. 次は同値;
- \(S\) は整である.
- \(a,b\in S\) に対して \(ab=0\) \(\Longrightarrow\) \(a=0\) または \(b=0\).
証明
1.\(\Longrightarrow\)2.
\(a, b\in S\) に対して \(ab=0\) のとき, \(a\neq0\) かつ \(b\neq0\) とすると
\(a, b\) は零因子となり整であることに矛盾. ゆえに \(a=0\) または \(b=0\).
2.\(\Longrightarrow\)1.
\(a\in S\) が左零因子だとすると \(0\) でない \(b\in R\) が存在して \(ab=0\).
\(ab=0\) ならば \(a=0\) または \(b=0\) であり, \(b\neq 0\) より \(a=0\).
\(a\in S\) が右零因子のときも同様にして \(a=0\).
ゆえに \(R\) の零因子は \(0\) のみ.
簡約性
半環 \(S\) が \(a,b\in S\) と \(0\) でない \(c\in S\) に対して \[ca=cb\quad\Longrightarrow\quad a=b\] を満たすとき, 左簡約的(left-cancellative) \[ac=bc\quad\Longrightarrow\quad a=b\] を満たすとき, 右簡約的(right-cancellative) という.
\(S\) が左消約的かつ右消約的であるとき, \(S\) は簡約的(cancellative)または消約的であるという.
整性と簡約性
半環 \(S\) が簡約的ならば整である.
証明
\(a,b\in S\) に対して \(ab=0\) として \(a\neq 0\) とする.
\(ab=0=a0\) であり, \(S\) は簡約的であるから, \(b=0\).
よって \(ab=0\) \(\Longrightarrow\) \(a=0\) または \(b=0\). ゆえに \(S\) は整である.
例（整であるが簡約的でない例）
\(S=\mathbf{B}^2\) とするとき, \(S\) の0-添加 \(S^0\) は整ですが、簡約的ではありません。
\(S\) の零元は \((0,0)\) ですが \(S^0\) の零元は \(0\) であることに注意すると、
\((1,0)\cdot (0,1)=(1,0)\cdot (0,0)=(0,0)\) ですが, \((0,1)\neq(0,0)\) なので簡約律を満たしません。
\(S^0\)
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