群の直積

がいくつかあるときに、その直積を群として考える事が出来ます。

構造を知らべるときはよく知っていいるものの直積に分解して考えます。

群の直積

\(G_1,G_2\) を群として, \(e_1,e_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[G_1\times G_2=\left\{\ (g_1,g_2)\ |\ g_1\in G_1,\ g_2\in G_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\)を \((g_1,g_2),\ (g_1^\prime,g_2^\prime)\in G_1\times G_2\) に対して \[(g_1,g_2)\cdot (g_1^\prime,g_2^\prime)=(g_1g_1^\prime,g_2g_2^\prime)\] で定義すると \(G_1\times G_2\) は群となる.
この群を \(G_1,G_2\) の直積(direct product)という.
\(G_1\times G_2\) の単位元は \((e_1,e_2)\) であり, \((g_1,g_2)\) の逆元は \((g_1^{-1},g_2^{-1})\) である.

加法群 \(\mathbf{Z}\) に対して, \(\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}\) の元は \((n,m)\ (n,m\in \mathbf{Z})\) の形をしていて,
\((n_1,m_1), (n_2,m_2)\in\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}\) に対して, \((n_1,m_1)+(n_2,m_2)=(n_1+n_2,m_1+m_2)\) で
\((n_1,m_1)\) の逆元は \((-n_1,-m_1)\), 単位元は \((0,0)\)です。

例えば

  • \((1,2)+(4,8)=(5,10)\)
  • \((1,-3)+(-8,4)=(-7,1)\)
  • \(-(11,-2)=(-11,2)\)
  • \((1,2)+(0,0)=(1,2)\)

のような演算です。

任意個の群の直積

群の族 \(\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) に対して, その直積 \[
\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda=\left\{\ (g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\ |\ g_\lambda\in G_\lambda\ \right\}
\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda},\ (g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) に対して \[
(g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\cdot (g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(g_\lambda g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}
\] で定義すると \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) は群となる.

ただし \(\Lambda=\emptyset\) の場合, 空積 \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) は1元集合となるので \(\{e\}\) とみなす.

単位元は \((e_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) であり, \((g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) の逆元は \((g_\lambda^{-1})_{\lambda\in\Lambda}\) である.


\(G\) をある群として, 任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(G_\lambda=G\) の場合は \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) を \(G^\Lambda\) と書くこともある.
特に \(|\Lambda|=n\) のとき \(G^\Lambda\) を \(G^n\) と書く.

特に \(\Lambda=\{1, 2, 3,\ldots,n\}\) のとき \[\prod_{i=1}^nG_i=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n\] のように書いたりします。

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