半環における基本的概念である部分半環を紹介します。
部分半環(subsemiring)
半環 \(S\) の空ではない部分集合 \(T\) が, \(S\) の二項演算で半環になるとき, \(T\) を \(S\) の部分半環(subsemiring)という.
また, \(S\) の零元からなる集合 \(\{0\}\) と \(S\) 自身は \(S\) の部分半環であり,
これらを自明な部分半環(trivial subsemiring)と呼ぶ.
例
\(\mathbf{N}\) は \(\mathbf{Q}_{\geq0}\) の部分半環です。
部分半環の必要条件
半環 \(S\) の空でない部分集合 \(T\) に対して
- \(0, 1\in T\) かつ, 任意の \(a,b\in T\) に対して \(a+b, ab\in T\) が成立する.
- \(T\) は \(S\) の部分半環である.
とするとき, \(1\Longrightarrow2\) である.
証明
\(T\) は \(S\) の部分集合なので, 和の可換性 \(a+b=b+a\), 和の結合性 \(a+(b+c)=(a+b)+c\),
積の結合性 \(a(bc)=(ab)c\), 分配則は成り立つ.
また, \(0\in T\) のなので \(a\in T\) に対して \(a+0=0+a=a,\ a0=0a=0\) である.
さらに, \(1\in T\) のなので \(a\in T\) に対して \(a1=1a=a\) である.
よって \(T\) は和に関して \(0\) を単位元とする可換モノイドであり,
積に関して \(1\) を単位元とするモノイドである.
ゆえに \(T\) は半環をなすので, \(T\) は \(S\) の部分環である.
\(T\) が \(S\) の部分半環であっても, \(0_T=0_S\) や \(1_T=1_S\) が成立するとは限りません。
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