環の直積

\(R_1,R_2\) を環として, \(0_1,0_2\) をそれぞれの零元, \(1_1,1_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[R_1\times R_2=\left\{\ (r_1,r_2)\ |\ r_1\in R_1,\ r_2\in R_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((r_1,r_2),\ (r_1^\prime,r_2^\prime)\in R_1\times R_2\) に対して \[
(r_1,r_2)+(r_1^\prime,r_2^\prime)=(r_1+r_1^\prime,r_2+r_2^\prime)\\
(r_1,r_2)\cdot (r_1^\prime,r_2^\prime)=(r_1r_1^\prime,r_2r_2^\prime)
\] で定義すると \(R_1\times R_2\) は環となる.
この環を \(R_1,R_2\) の直積(direct product)という.
\(R_1\times R_2\) の零元は \((0_1,0_2)\), 単位元は \((1_1,1_2)\) である.

環の族 \(\{R_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) に対して, その直積 \[
\prod_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda=\left\{\ (r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\ |\ r_\lambda\in R_\lambda\ \right\}
\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda},\ (r_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\) に対して \[
(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}+(r_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(r_\lambda+r_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\\
(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\cdot (r_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(r_\lambda r_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}
\] で定義すると \(\prod_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\) は環となる.

ただし \(\Lambda=\emptyset\) の場合, 空積 \(\prod_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\) は１元集合となるので零環 \(\{0\}\) とみなす.

零元は \((0_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) であり, 単位元は \((1_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) である.

\(R\) をある環として, 任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(R_\lambda=R\) の場合は \(\prod_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\) を \(R^\Lambda\) と書くこともある.
特に \(|\Lambda|=n\) のとき \(R^\Lambda\) を \(R^n\) と書く.