イデアル

環 \(R\) の部分集合 \(I\) が

• \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ -a+b\in I\)
• \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\)

を満たすとき, \(I\) を \(R\) の左イデアル(left ideal)という. また,

• \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ -a+b\in I\)
• \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ ax\in I\)

を満たすとき, \(I\) を \(R\) の右イデアル(right ideal)という.

\(I\) が左イデアルかつ右イデアルであるとき, 両側イデアル(two–sided ideal)という.

\(R\) が可換環であるとき, 左イデアル, 右イデアル, 両側イデアルの概念は一致し,
単にイデアル(ideal)と呼ばれる.
また非可換の場合も, 左, 右, 両側イデアルを総称してイデアルという事もある.

\(R\) 自身と \(\{0\}\) はイデアルとなる. これらは自明なイデアル(trivial ideal)と呼ばれ,
\(\{0\}\) は零イデアル(zero ideal)と呼ばれる. \(0\) で生成されるので \((0)\) と書かれることもある.

環 \(R\) の元 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) に対して \[(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\{a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\ |\ x_1,x_2,\ldots,x_n\in R\}\] と定義すると \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) は \(R\) の左イデアルとなる.
この \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) を \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) で生成された \(R\) の左イデアルという.
生成された \(R\) の右イデアルも同様に定義できる.

一つの元 \(a\in R\) で生成される左イデアルを \(aR\), 右イデアルを \(Ra\) のように書くこともある.

環 \(R\) の左(右)イデアル \(I,J\) に対して \[I+J=\{a+b\ |\ a\in I, b\in J\}\] と定義すると, \(I+J\) も \(R\) の左(右)イデアルとなる.

また, \(I,J\) が両側イデアルのとき, \[IJ=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\ |\ a_i\in I, b_i\in J, n\in\mathbf{N}\}\] と定義すると, \(IJ\) も \(R\) の両側イデアルとなる.