基本的な代数的構造である環の定義を紹介します。
環（ring）の定義
空でない集合\(R\)と,その上の２つの二項演算, 和 \(+\) 積 \(\cdot\) の組 \((R, +,\cdot\,)\) が環(ring)であるとは,
- \((R, +\ )\) はアーベル群である.
- \((R, \cdot\ )\) はモノイドである.
- 分配律 \( \forall a, b, c \in R\) に対して
- \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)
- \((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)
を満たすことをいう.
また, 積が可換, つまり任意の \(a,b\in R\) に対して \(a\cdot b=b\cdot a\) が成り立つとき,
\(R\) を可換環(commutative ring)という.
\((R, +)\) の単位元を \(0\) と書き \(R\) の零元(zero element)といい,
\(a \in R\) の \((R, +)\) における逆元を \(-a\) と書く.
\((R,\, \cdot\ )\) の単位元を環 \(R\) の単位元(identity element)といい, \(1\) や \(e\) で表す.
演算が積\(\ \cdot\ \)のとき, \(a\cdot b\) を単に \(ab\) と書くことが多いです。
零元や単位元を \(R\) のものであると強調するときは \(0_R\) や \(1_R, e_R\) と書いたりもします。
演算が明らかな場合は単に環 \(R\) と書きます。
また、環 \(R\) と言えば和と積が定義されているものとして考えます。
演算の性質
環 \(R\) の元 \(a,b\) に対して以下が成り立つ:
- \(a0=0a=0\)
- \((-a)b=a(-b)=-ab\)
- \((-a)(-b)=ab\)
証明
\(a0=a(0+0)=a0+a0\) なので, 両辺に\(-a0\) を加えて \(0=a0\). \(0a=0\) も同様.
\(ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0\) なので \((-a)b=-ab\). \(a(-b)=-ab\) も同様.
\(a(-b)=-ab\) の \(a\) を \(-a\) として見ると, \((-a)(-b)=-(-a)b=-(-ab)=ab\).
単数群
\(R\) を環とする. \(a\in R\) に対して \(b\in R\) で \(ab=ba=1\) となる元が存在するとき,
\(a\) を可逆元(invertible element), 単元(unit)または単数という.
この \(b\) を \(a^{-1}\) と書き, \(a\) の逆元という.
\(R\) の単数全体の集合を \(R^\times\) と書き, \(R\) の単数群(unit group, group of units)または乗法群という.
例(零環)
一元集合 \(\{0\}\) は \(0+0=0,\ 0\cdot0=0\) で和と積を定義すると環になります。
この環 \(\{0\}\) を零環(zero ring)または自明な環(trivial ring)と言います。
例(整数環)
整数全体の集合 \(\mathbf{Z}\) は \(0\) を零元, \(1\) を単位元とする可換環です。
\(\mathbf{Z}\) を整数環(有理整数環)と言います。
単数群は \(\mathbf{Z}^\times=\{-1, 1\}\) です。
例(行列環)
実数上の \(n\) 次正方行列全体の集合 \(M_n(\mathbf{R})\) は行列の和と積で環をなします。
\(n\geq 2\) の時は非可換環となります。
単数群は \(M_n(\mathbf{R})^\times=GL_n(\mathbf{R})\) です。
例
\(\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}\) は \(0\) を零元, \(1\) を単位元とする可換環です。
単数群は \(\mathbf{Q}^\times=\mathbf{Q}\backslash\{0\},\ \mathbf{R}^\times=\mathbf{R}\backslash\{0\},\ \mathbf{C}^\times=\mathbf{C}\backslash\{0\}\) です。
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