準同型定理(第三同型定理)
群 \(G\) に対して, \(N, M\) は正規部分群であって \(N\supset M\) を満たすものとする.
このとき \(N/M\) は \(G/M\) の正規部分群であり, \[(G/M)/(N/M)\cong G/N\] が成り立つ.
証明
写像 \[\begin{eqnarray*} f\ :\ &G/M\quad&\longrightarrow&\quad G/N&\\ &xM\quad&\longmapsto&\quad xN&\end{eqnarray*}\] は全射準同型写像であって, \(\mathrm{Ker}\,f=\{xM\ |\ x\in N\}=N/M\) なので, 準同型定理(第一同型定理)より \[(G/M)/(N/M)\cong G/N\] が成り立つ.
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