ヘルダー平均

相加平均、相乗平均、調和平均は一般化されて、ある一つの関数として捉えることが出来ます。
ヘルダー平均の性質は別の記事で紹介しています。

ヘルダー平均(Hölder mean)

\(p\) を \(0\) ではない実数とする.
\(n\) 個の正の実数 \(x_1,x_2, \ldots,x_n\) に対して, 指数 \(p\) のヘルダー平均(Hölder mean)を次の式で定義する:\[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\]

さらに,

\(\displaystyle M_0(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow 0}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\)
\(\displaystyle M_\infty(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow \infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\)
\(\displaystyle M_{-\infty}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow -\infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\)

として, \(p\in[-\infty,\infty]\) で \(M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\) を定義する.

ヘルダー平均は一般化平均(generalized mean)や冪平均(power mean)とも呼ばれる.

特殊値

ある \(p\) の値では名前がついている概念と一致する.

最小値 \(p=-\infty\)

\(\displaystyle M_{-\infty}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\min\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\)

調和平均 \(p=-1\)

\(\displaystyle M_{-1}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\)

相乗平均 \(p=0\)

\(\displaystyle M_{0}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\)

相加平均 \(p=1\)

\(\displaystyle M_{1}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

最大値 \(p=\infty\)

\(\displaystyle M_\infty(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\max\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\)

証明

\(p=-1, 1\) の時は明らかなので \(p=0, -\infty, \infty\) の場合を示す.

\(p=0\) のとき \[M_0(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\] であるが \[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=\exp\left(\ln\left(\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\right)\right)=\exp\left(\frac{\ln(\sum_{i=0}^nx_i^p/n)}{p}\right)\] となり, \(\exp\) の中身にロピタルの定理を使用すると \[\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\ln(\sum_{i=0}^nx_i^p/n)}{p}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\frac{\sum_{i=0}^nx_i^p\ln x_i/n}{\sum_{i=0}^nx_i^p/n}}{1}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sum_{i=0}^nx_i^p\ln x_i}{\sum_{i=0}^nx_i^p}=\frac{\sum_{i=0}^n \ln x_i}{n}=\ln\left((x_1x_2\cdots x_n)^\frac{1}{n}\right)\] \(\exp\) は連続関数であるから \[\lim_{p\rightarrow 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=\exp\left(\ln\left((x_1x_2\cdots x_n)^\frac{1}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\] となり, \[M_{0}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\] が従う.

\(p=\infty\) のとき

\(x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n\) としても一般性を失わない.

\[\lim_{p\rightarrow \infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=x_1\lim_{p\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\left(\frac{x_i}{x_1}\right)^p\right)^\frac{1}{p}=x_1\] となり \[\max\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}=x_1\] なので, \[M_\infty(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\max\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\] が分かる.

\(p=-\infty\) のとき

\(x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n\) としても一般性を失わない.
今, 正の実数 \(q\) と \(r=-q\) に対して \[M_r(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^r\right)^\frac{1}{r}=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^{-q}\right)^{-\frac{1}{q}}=\frac{1}{M_q(\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}, \ldots,\frac{1}{x_n})}\] となるので \[\lim_{p\rightarrow -\infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow \infty}\frac{1}{M_p(\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}, \ldots,\frac{1}{x_n})}=\frac{1}{1/x_n}=x_n\] となり \[\min\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}=x_n\] なので, \[M_{-\infty}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\min\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\] が分かる.