群の準同型定理(第一同型定理)

群の構造を調べる上で基本となる定理を紹介します。

準同型定理(第一同型定理)

２つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像 \[
\begin{eqnarray*}
\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\
x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x)
\end{eqnarray*} \] を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.

証明

まず \(\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\longrightarrow\mathrm{Im}\,f\ ;\ x\mathrm{Ker}\,f\longmapsto f(x)\) がwell-definedであることを示す.
\(y\) を \(x\mathrm{Ker}\,f\) の別の代表元とすると, ある \(k\in\mathrm{Ker}\,f\) を用いて \(y=xk\) と書ける.
このとき \(f(y)=f(xk)=f(x)f(k)=f(x)e=f(x)\) なので,
\(\varphi(x\mathrm{Ker}\,f)\) は代表元の取り方に依らずに定まる. ゆえに \(\varphi\) はwell-defined.

また, \[\varphi(x\mathrm{Ker}\,f\cdot y\mathrm{Ker}\,f)=\varphi(xy\mathrm{Ker})=f(xy)=f(x)f(y)=\varphi(x\mathrm{Ker}\,f)\varphi(y\mathrm{Ker}\,f)\] なので \(\varphi\) は準同型写像である.

最後に \(\varphi\) が全単射であることを示すが, 全射は明らかなので単射性を示す.
\(x\mathrm{Ker}\,f\in\mathrm{Ker}\,\varphi\) とすると, \(\varphi(x\mathrm{Ker}\,f)=f(x)=e^\prime\) なので \(x\in\mathrm{Ker}\,f\).
よって \(x\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Ker}\,f\) となり, \(\mathrm{Ker}\,\varphi=\{\mathrm{Ker}\,f\}\) で \(\mathrm{Ker}\,f\) は \(G/\mathrm{Ker}\,f\) の単位元なので, \(\varphi\) は単射.

以上より, \(\varphi\) は同型写像である.

例

一般線型群 \(GL_n(\mathbf{R})\) と正の実数の集合 \(\mathbf{R}^\times\) に対して,
写像 \(f\ \colon\ GL_n(\mathbf{R}) \to \mathbf{R}^\times\) を \( A\in GL_n(\mathbf{R}) \) に対して \(f(A)=\det A\) で定めると \(f\) は準同型写像となります。

このとき, \[\mathrm{Ker}\,f=SL_n(\mathbf{R}),\quad \mathrm{Im}\,f=\mathbf{R}^\times\] となっているので \[GL_n(\mathbf{R})/SL_n(\mathbf{R})\cong\mathbf{R}^\times\] です。