巡回群

群の最も基本的な構造である巡回群を紹介します。

生成される部分群

群 $G$ の元 $a$ と正の整数 $n$ に対して

$a^n=\overbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}^{\text{$n$個}}$
$a^{-1}=(a^{-1})^n$
$a^0=e$

と定義する.

群 $G$ の空でない部分集合 $S$ に対して \[\langle S\rangle=\{a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_r^{n_r}\ |\ a_i\in S,\ n_i\in \mathbf{Z},\ 1\leq i\leq r\}\]と定義する.これを $S$ で生成される部分群という.

$G=\langle S\rangle$ のとき, $S$ は $G$ を生成するといい, $S$ の元は生成元と呼ばれる.
さらに $S$ が有限集合のとき, 群 $G=\langle S\rangle$ は有限生成(finitely generated)であると呼ばれる.

また, 特に $S$ が一元集合であるとき, その元を用いて\[\langle a\rangle=\{a^n\ |\ n\in \mathbf{Z}\}\] のように書く.

群 $G$ がある元 $a$ を用いて $G=\langle a\rangle$ と書けるとき, $G$ を巡回群(cyclic group)と呼ぶ.
このとき, $a$ を $G$ の生成元といい, $G$ の位数を $a$ の位数(order)といい $\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}(a), |a|$ などで表す.

$\mathrm{ord}\ a$ が有限のとき, $n=\mathrm{ord}\ a$ と置くと, $a^n=e$ である.
逆に $a^n=e$ となる正の整数 $n$ が存在しなければ $\mathrm{ord}\ a=\infty$ である.

巡回群の可換性

巡回群はアーベル群である.

巡回群の部分群

巡回群の部分群は巡回群である.

証明

$G=\langle a\rangle$ として, $H$ をその部分群とする.

$H=\{e\}$ ならば $H=\langle e\rangle$ であるから $H$ は巡回群.

$H\neq\{e\}$ とする.
正の整数 $n$ に対して, $a^{-n}\in H$ ならばその逆元 $a^n$ は $H$ に含まれるので,
ある正の整数 $n$ があって $a^n\in H$ である. そのような正の整数のうち最小のものを $m$ と置く.
$H$ は群であるから, $H\supset \langle a^m\rangle$.
ここで $a^i\in H$ を取ると, $i=qm+r$ かつ $0\leq r<m$ となるような整数 $q, r$ が存在する. このとき \[a^r=a^{i-qn}=a^i(a^{-m})^q\in H\] であり, $m$ の最小性から $r=0$ でなければならず, ゆえに \[a^i=a^qm=(a^m)^q\in \langle a^m\rangle\] となり $H\subset \langle a^m\rangle$.
以上より $H=\langle a^m\rangle$ が従い, $H$ が巡回群であることがわかる.

例１

$G=\{e,\ g,\ g^2,\ g^3,\ g^4,\ g^5\}$ で $g^6=e$ ならば $G$ は巡回群です。

また, $H_1=\{e,\ g^2,\ g^4\},\ H_2=\{e,\ g^3\}$ は $G$ の部分群です。

このとき $G$ の元の位数は以下のようになっています。

$\mathrm{ord}\ e=1$
$\mathrm{ord}\ g=6$
$\mathrm{ord}\ g^2=3$
$\mathrm{ord}\ g^3=2$
$\mathrm{ord}\ g^4=3$
$\mathrm{ord}\ g^5=6$

例２

加法群 $\mathbf{Z}$ は巡回群です。$\mathbf{Z}=\langle 1\rangle=\langle -1\rangle$ と書けます。
$\mathbf{Z}$ は無限巡回群(infinite cyclic group)と呼ばれます。
これは巡回はしていませんが巡回群と呼ばれます。

また、正の整数 $n$ に対して $n\mathbf{Z}=\{nm\ |\ m\in \mathbf{Z}\}$ は $\mathbf{Z}$ の部分群で, $n\mathbf{Z}=\langle n\rangle=\langle -n\rangle$ と書けます。
$n\mathbf{Z}$ も無限巡回群となっています。