群の公理の弱化

群の公理は弱めることが出来ます。
具体的には「単位元の存在」「逆元の存在」をそれぞれ
「左単位元の存在」「左逆元の存在」か「右単位元の存在」「右逆元の存在」にすることが出来ます。
これについて少し詳しく書いてみました。

群の定義ではモノイドという言葉を使って定義しましたが、改めて条件を描いてみようと思います。

演算は省略して書きます。

空でない集合 \(G\) と, その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((G,\cdot\ )\) が群(group)であるとは,

の条件を満たすことをいう.

これが所謂「群の公理」です。

これを少し弱めて、必要最低限の定義に出来ます。

空でない集合 \(G\) と, その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((G,\cdot\ )\) が群(group)であるとは,

の条件を満たすことをいう.

単位元、逆元がそれぞれ左単位元、左逆元という条件に弱まりました。

これに加えて可換性 \(ab=ba\) という条件があれば、群の公理と同じであることは明らかですが、一般的にはそうではありません。
群の公理と同値であることを見るため、次の定理を証明します。

群の公理の弱化の下で以下が成り立つ:

(右単位元の存在) \(\exists e^{\prime}\in G \ \ \forall a\in G\ \ ae^{\prime} = a\).
(右逆元の存在) \(\forall a \in G \ \ \exists x^{\prime} \in G \ \ ax^{\prime}=e^{\prime} \).

任意の \(a\in G\) に対して,

\(a\) の左逆元を \(b\), \(b\) の左逆元を \(c\) と置と, \(ba=e,\ cb=e\).
\(ab=e(ab)=(cb)(ab)=c(ba)b=ceb=c(eb)=cb=e\).

以上より, \(ba=ab=e\).
\(ae=a(ba)=(ab)a=ea=e\) なので, 左単位元 \(e\) は右単位元でもある.

よって \(e\) を右単位元としてみれば \(ab=e\) で \(a\) の左逆元 \(b\) は右逆元でもあることがわかる.

上の証明の中から次も分かります。

左右単位元の存在と左右逆元の存在をまとめて書くと、

となり、これは群の公理の単位元・逆元の存在の条件に一致します。
よって、結合則と左単位元・左逆元の存在の条件だけで群の公理を意味している事になります。

同様にして、結合則と右単位元・右逆元の存在を仮定すると、左単位元・左逆元の存在を導けます。

Suzume

このように、数学には必要最低限の条件で定義されていない事が割とあります。

それは分かりやすさやイメージのしやすさ、どういうことを調べたいかなどで定義しているからだと思います。

ただ、本質を理解するためにはどの条件がどこに効いているのかを知っているのが重要だったりするので、こういう考察はしてみた方が良いと思います。

気が向いたら、興味のある対象の定義の必要最低限の条件は何なのかを考えてみると面白いかもしれません。