「代数学」を学ぶ上でおそらく最初に出会うであろう群の定義を紹介します。
ただし、ここでは他の代数的構造に基づいて定義するので、二項演算やモノイドを知っているものとします。
群（group）の定義
空でない集合\(G\)と,その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((G, \cdot\ )\) が群(group)であるとは,
\((G, \cdot\ )\) はモノイドであって, \(e\in G\) を単位元とするとき,
- \( \forall a \in G \ \ \exists x \in G \ \ a\cdot x=x\cdot a=e \)
を満たすことをいう. (※ \(x\) は \(a\) に依存している.)
この \(x\in G\) を \(a\) の逆元(inverse element)という.
\(a\) の逆元は \(a^{-1}\) と書かれることが多い.
演算が積\(\ \cdot\ \)のとき, \(a\cdot b\) を単に \(ab\) と書くことが多いです。
演算が明らかな場合は単に 群 \(G\) と書きます。
モノイドの性質より以下が分かります。
単位元の一意性
単位元はただ１つ存在する.
群では逆元の一意性も言えます。
逆元の一意性
\(a\in G\) の逆元はただ１つ存在する.
証明
\(x,x^\prime\in G\) が共に \(a\) の逆元だとすると, \(ax=xa=e,\ ax^\prime=x^\prime a=e\) であるが, 結合則を用いると
- \(x^\prime = x^\prime e = x^\prime (ax)=(x^\prime a)x=ex=x\)
が従う.
この一意性があるので, \(a\) の逆元を \(a^{-1}\) のように書いても誤解が生じないのです。
逆元に関する性質
- \(e^{-1}=e\)
- \((a^{-1})^{-1}=a\)
証明
- \(ee=e\).
- \((a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}e=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=ea=a\).
位数（order）
群 \(G\) に含まれる元の数を, 群 \(G\) の位数(order) といい, \(|G|, \mathrm{ord}(G)\) などと書く.
位数が有限のとき有限群(finite group), 無限のとき無限群(infinite group)という.
アーベル群（abelian group）
群 \(G\) の演算が可換である, つまり任意の \(a, b\in G\) に対して
- \(ab=ba\)
を満たすとき, \(G\) をアーベル群(abelian group)または可換群(commutative group)という.
アーベル群を考えるとき、演算を加法 \(+\) で考える事が多いです。
これに伴い \(a\) の逆元は \(-a\) と書かれ、単位元は加法の単位元 \(0\) となります。
例（群）
実数上の正則 \(n\) 次正方行列全体 \(GL_n(\mathbf{R})\) は通常の積に関して群である.
\(A\in GL_n(\mathbf{R})\) の逆元は \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) である.
\(n\) が \(2\) 以上だとアーベル群ではありません.
例（アーベル群）
整数全体 \(\mathbf{Z}\), 有理数全体 \(\mathbf{Q}\), 実数全体 \(\mathbf{R}\), 複素数全体 \(\mathbf{C}\) などは通常の和に関してアーベル群である.
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