半環の中で重要な概念である冪等半環を紹介します。
半順序との対応があるので、演算と順序を同時に考えるときに役に立ちます。
冪等半環(idempotent semiring)
半環 \(S\) が冪等(idempotent)であるとは, \(S\) のすべての元が加法が冪等演算となること,
つまり \(\forall a\in S\ \ a+a=a\) を満たすことをいう.
このとき \(S\) を冪等半環(idempotent semiring)という.
通常、冪等というと乗法 \(a\cdot a=a\) を指すことが一般的ですが、冪等半環では加法の方を指します。
例１（ トロピカル半環 ）
トロピカル半環 \(\mathbf{T}\) は冪等半環です.
実際、和の演算は \(a\oplus b=\max\left\{a,b\right\}\)(または \(a\oplus b=\min\left\{a,b\right\}\)) なので \(a\oplus a =a\) を満たします。
例２（ブール半環 Boolean semiring）
真理値やコンピュータの世界で良く用いられる \(0\) と \(1\) の演算も冪等半環をなします。
\(\mathbf{B}=\left\{0, 1\right\}\) に演算 \(\vee ,\ \wedge\) を
- \(0\vee 0 = 0,\ 0\vee 1=1,\ 1\vee 0 = 1,\ 1\vee 1 = 1\)
- \(0\wedge 0 = 0,\ 0\wedge 1=0,\ 1\wedge 0=0,\ 1\wedge 1=1\)
で定めると \(\mathbf{B}\) は冪等半環となります。
（分かりにくければ \(\vee\) を or や \(+\) に、\(\wedge\) を and や \(\cdot\) に変えて考えてください。）
この \(\mathbf{B}\) をブール半環(Boolean semiring)といいます。
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