ある集合に対して、半群は素朴に存在します。
変換(transformation)
集合 \(X\) 上の変換とは, \(X\) から \(X\) への写像のことである.
全変換半群((full) transformation semigroup, symmetric semigroup)
集合 \(X\) 上の変換全体の集合を \(T_X\) や \(\mathcal{T}_X\) とかく. \(T_X\) は写像の合成を演算として半群をなす. これを集合 \(X\) 上の全変換半群という. さらに恒等写像 \({\rm id}_X\) を単位元とするモノイドでもあるので, 全変換モノイド((full) transformation monoid)ともいう.
全変換半群の要素数
集合 \(X\) を有限集合として, \(n=|X|\) と置くと, \(|T_X|=n^n\).
１つ元の行き先が \(n\) 通りあることから分かる.
例
\(X=\{\ 1, 2\ \}\) の時, \[T_X=\left\{\left(\begin{array}[cc]\\ 1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right), \ \left(\begin{array}[cc]\\ 1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right), \ \left(\begin{array}[cc]\\ 1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right), \ \left(\begin{array}[cc]\\ 1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)\right\}\]
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