全射と単射

写像の基本概念として全射と単射があります。これらを利用して、集合の”大きさ”を比べたり、構造を比べたり、様々な用途があります。

全射(surjection, surjective function)

写像 \(f\ \colon\ A\to B\) が全射であるとは, 任意の \(b\in B\) に対して, ある \(a\in A\) が存在して \(b=f(a)\) が成り立つことをいう. \(f(A)=B\) が成り立つことともいえる.

単射(injection, injective function)

写像 \(f\ \colon\ A\to B\) が単射であるとは, 任意の \(a, a^{\prime}\in A\) に対して\[a\neq a^{\prime} \Longrightarrow f(a)\neq f(a^{\prime})\]が成立することをいう.
対偶を考えると \[f(a)=f(a^{\prime}) \Longrightarrow a=a^{\prime}\]

例

実数上の写像を考える. \(f_1, f_2, f_3, f_4\) を \(\mathbf{R}\) から \(\mathbf{R}\) への写像として\[f_1(x)=x,\ f_2(x)=x(x^2-1),\ f_3(x)=\frac{1}{1+e^{-x}},\ f_4(x)=x^2\]であるとすると,