半群の中には、ある性質を持つため、名前がついているものがあります。そのうちのいくつかを紹介します。
一元半群(自明な半群, trivial semigroup)
一元集合 \(A=\{\ a\ \}\) に二項演算を入れると \(a^2=a\) の一通りしかない. これを一元半群や自明な半群という.
モノイド(monoid)
\(1\in S\) であって, 任意の \(x\in S\) に対して \(x1=1x=x\) が成立する半群 \(S\) をモノイドという. つまり, 単位元を含む半群をモノイドという.
可換半群(commutative semigroup)
任意の \(x,y \in S\) に対して \(xy=yx\) が成立する半群 \(S\) を可換半群という.
帯(band)・冪等半群(idempotent semigroup)
任意の \(x\in S\) に対して \(x^2=x\) が成立する半群 \(S\) を帯または冪等半群という.
半束(semilattice)
任意の \(x, y\in S\) に対して \(x^2=x,\ xy=yx\) が成立する半群 \(S\) を半束という. つまり, 可換な帯を半束という.
零半群(null semigroup, zero semigroup)
\(0\in S\) であって, 任意の \(x,y \in S\) に対して \(xy=0\) が成立する半群 \(S\) を零半群という.
例えば \(S=\{\ 0, a, b, c\ \}\) のとき\[\begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & a & b & c \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\]
左零半群(left zero semigroup)
任意の \(x,y \in S\) に対して \(xy=x\) が成立する半群 \(S\) を左零半群という.
例えば \(S=\{\ a, b, c\ \}\) のとき\[\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a & a & a & a \\ b & b & b & b \\ c & c & c & c \\ \end{array}\]
右零半群(right zero semigroup)
任意の \(x,y \in S\) に対して \(xy=y\) が成立する半群 \(S\) を右零半群という.
例えば \(S=\{\ a, b, c\ \}\) のとき\[\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & a & b & c \\ c & a & b & c \\ \end{array}\]
コメント