マグマや半群などの代数的構造において、ある性質を持つ元には名前がついています。その中でも代表的なものを紹介します。
以下では \((M, \,\cdot\,)\) をマグマとして, 演算は \(a\cdot b=ab\) と省略して書くこととする.
単位元(identity element)
\(e\in M\) が単位元であるとは, 任意の \(a\in M\) に対して\[ea=ae=a\]を満たすときにいう. 単位元は \(e\) や \(1\) と書いたり, どの集合かを明示したい場合は \(e_M, 1_M\) などと書く.
また,
\(e_l\in M\) が \(e_la=a\) を満たすとき左単位元,
\(e_r\in M\) が \(ae_r=a\) を満たすとき右単位元という.
零元・吸収元(zero element, absorbing element)
\(z\in M\) が零元または吸収元であるとは, 任意の \(a\in M\) に対して\[za=az=z\]を満たすときにいう. 零元は \(0\) と書くことが多い. どの集合かを明示したい場合は \(0_M\) などと書く.
また,
\(0_l\in M\) が \(0_la=0_l\) を満たすとき左零元,
\(0_r\in M\) が \(a0_r=0_r\) を満たすとき右零元という.
冪等元(idempotent element)
\(a\in M\) が冪等元または冪等であるとは, \[a^2=aa=a\]を満たすときにいう.
(左・右)単位元, (左・右)零元は冪等元である.
例
\(M=\{\ a,b,c\ \}\) に対して演算 \(\cdot\) を \[\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & a & b & b \\ c & c & b & c \\ \end{array}\]で定義する. このとき,
- \(a\) は左単位元(冪等元でもある).
- \(b\) は右零元(冪等元でもある).
- \(c\) は冪等元.
である.
可逆元・単元(invertible element, unit)
\(M\) が冪等元を含むとする.
\(a\in M\) が
\(ba=e\) なる \(b\in M\) と冪等元 \(e\in M\) が存在するとき \(a\) を \(e\) に対する左可逆元
\(ab=e\) なる \(b\in M\) と冪等元 \(e\in M\) が存在するとき \(a\) を \(e\) に対する右可逆元
という. \(a\) が \(e\) に対する左可逆元かつ右可逆元であるとき \(e\) に対する可逆元という.
特に, 冪等元 \(e\) が単位元であるとき, それぞれ左単元, 右単元, 単元という.
零因子(zero divisor)
\(M\) が零元 \(0\) を含むとする.
\(a\in M\) が零因子であるとは, \(a\neq 0\) であって, \[ab=0\ {\rm {\bf または}}\ ba=0\]を満たす \(b\neq 0\) が存在するときをいう.
特に,
\(ab=0\) なる \(b\neq 0\) が存在するとき \(a\) を左零因子
\(ba=0\) なる \(b\neq 0\) が存在するとき \(a\) を右零因子
という. 逆に言えば零因子とは左零因子または右零因子である元のことである.
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