もっとも素朴な代数的構造で広い概念であるマグマについて紹介します。
マグマの定義
集合 \(M\) に対して, その上の二項演算 \(\mu\) が定められているとき, 組 \((M, \mu)\) をマグマ(magma)という.
演算が明らかなときは, 単に \(M\) をマグマという.
例
\(M=\{\ a,b,c\ \}\) に対して演算 \(\cdot\) を \[\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a & a & b & c \\ b & a & b & b \\ c & b & c & a \end{array}\]で定義すると \((M,\,\cdot\,)\) はマグマである.\[(ab)c=bc=b,\ a(bc)=ac=c\]より結合則は成立しない.
部分マグマ
マグマ \((M, \mu)\) に対して, \(M\) の部分集合 \(N\) が演算 \(\mu\) についてマグマをなすとき,
\((N, \mu)\) を \((M, \mu)\) の部分マグマという.
演算が明らかなときは, 単に \(N\) を \(M\) の部分マグマという.
例
自然数全体の集合\(\mathbf{N}=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}\) と通常の和 \(+\) の組 \((\mathbf{N}, +)\) はマグマをなす. ここで
\[\mathbf{N}_{even}=\{0, 2, 4, \cdots \},\ \ \mathbf{N}_{odd}=\{1, 3, 5, \cdots \}\]
とすると \(\mathbf{N}_{even}\) は \(\mathbf{N}\) の部分マグマであるが, \(\mathbf{N}_{odd}\) は \(\mathbf{N}\) の部分マグマではない.
実際 \(1+3 = 4 \notin \mathbf{N}_{odd}\) なので \(\mathbf{N}_{odd}\) は和について閉じていない.
マグマ準同型
２つのマグマ \((M, \mu),\ (N, \nu)\) に対して, 写像 \(f\ \colon\ M \to N\) が全ての \((x, y)\in M\times M\) に対して
\[f(\mu(x, y))=\nu(f(x), f(y))\]
を満たすとき, \(f\) を \((M, \mu),\ (N, \nu)\) 間の準同型写像(homomorphism)またはマグマ準同型(magma morphism)という.
特に, \(f\) が全単射であるとき,マグマ同型(magma isomorphism)といい, \((M, \mu),\ (N, \nu)\) は同型(isomorphic) であるといい, \((M, \mu)\cong (N, \nu)\) と書く.
多くの場合, 単に \(M\) と \(N\) は同型であるといい, \(M\cong N\) と表す.
例
\(\mathbf{N}=\{0, 1, 2, 3, \cdots \}\) に対して, 通常の和を \(+\) , 通常の積を \(\cdot\) とするとき, \((\mathbf{N}, +), (\mathbf{N},\,\cdot\,)\) はそれぞれマグマである. ここで自然数 \(n\) に対して, 写像 \(f\ \colon\ \mathbf{N} \to \mathbf{N}\) を
\[f(a) = n^a\]
で定めと, \(f\) は \((\mathbf{N}, +)\) から \((\mathbf{N},\,\cdot\,)\) への準同型となる.
実際, 任意の \(a, b\in\mathbf{N}\) に対して
\[f(a+b) = n^{a+b}=n^a\cdot n^b=f(a)\cdot f(b)\]
なので準同型写像であることが分かる.
マグマ合同
マグマ \((M, \mu)\) 上の同値関係 \(\sim\) がマグマ合同または合同関係であるとは,
任意の \(a, b, c, d\in M\) に対して
\[a\sim b\ ,\ c\sim d\ \Longrightarrow\ \mu(a,\,c)\sim\mu(b,\,d)\]
を満たすことをいう.
マグマ合同は演算を保つ同値関係である.
剰余マグマ
マグマ \((M, \mu)\) 上の合同関係 \(\sim\) に対して, 商集合 \(M/{\sim}=\{\ \overline{x}\ | \ x\in M\ \}\) 上の演算 \(\tilde{\mu}\) を
\[\tilde{\mu}(\overline{x},\,\overline{y})=\overline{\mu(x,\,y)}\]
で定めると \(\tilde{\mu}\) はwell-definedであって, \((M/{\sim}, \tilde{\mu})\) はマグマをなす.
この \((M/{\sim}, \tilde{\mu})\) を \(\sim\) による剰余マグマという.
証明
well-definedであること
\(\overline{x}=\overline{x^\prime},\,\overline{y}=\overline{y^\prime}\) のとき \(x\sim x^\prime, y\sim y^\prime\) であるが \(\sim\) は合同関係なので \(\mu(x,\,y)\sim \mu(x^\prime,\,y^\prime)\).
よって \(\tilde{\mu}(\overline{x},\,\overline{y})=\overline{\mu(x,\,y)}=\overline{\mu(x^\prime,\,y^\prime)}=\tilde{\mu}(\overline{x^\prime},\,\overline{y^\prime})\).
剰余マグマへの準同型(商写像・自然な全射・自然な射影)
マグマ \((M, \mu)\) とその上の合同関係 \(\sim\) に対して,写像 \(\pi\ \colon\ M\to M/{\sim}\) を \(\pi(x)=\overline{x}\) で定めると \(\pi\) は \((M, \mu)\) から \((M/{\sim}, \tilde{\mu})\) への全射準同型写像である.
証明
全射は明らか.任意の \(x, y\in M\) に対して\[\pi(\mu(x,\,y))=\overline{\mu(x,\,y)}=\tilde{\mu}(\overline{x},\,\overline{y})=\tilde{\mu}(\pi(x),\,\pi(y))\]より, 準同型写像である.
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