代数的構造を理解する方法として、商集合を考える事が良くあります。この商集合も元の代数的構造と同じように演算を考えるのが自然ですが、商集合上の演算、つまり同値類の演算を元の演算から矛盾なく定義するため(well-defined)に必要となるのが合同関係です。
同値類を考える上で必要な同値関係についての知識を前提としています。
ここではマグマ上で定義します。
安定的・両立的(compatible)
マグマ \(M\) 上の関係 \(R\) が安定的または両立的(compatible)であるとは, 任意の \(a,b,c,d\in R\) に対して
\[aRb\ ,\ cRd\ \Longrightarrow\ acRbd\ \]
であることをいう.
合同関係(congruence relation)
マグマ \(M\) 上の関係 \(R\) が合同関係(congruence relation)であるとは,
\(R\) が安定的な同値関係であることをいう.
例
自然数の集合 \(\mathbf{N}=\{\ 0, 1, 2, 3, \cdots \ \}\) に対して, 通常の積と通常の順序関係 \(\leq\) を考えると
\[ a\leq b\ ,\ c\leq d\ \Longrightarrow\ ac\leq bd\ \]
なので \(\leq\) は安定的である. しかし, \(\leq\) は同値関係ではないので合同関係ではない.
また, 素数 \(p\) に対して, \(a\) と \(b\) をそれぞれ \(p\) で割ったときの余りが等しいとき \(a\equiv b\) で定めると,
\(\equiv\) は同値関係であり, \(a\equiv b\) かつ \(c\equiv d\) のとき \(ac\equiv bd\) なので \(\equiv\) は合同関係である.
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