ここでは、ある集合上の二項関係を紹介します。より一般的に、二項関係や関係を定義することもできます。
二項関係
集合 \(A\) 上の二項関係(binary relation) \(R\) とは 直積 \(A\times A\) の部分集合 \(R \subset A\times A\) のことをいう.
\((a, b)\in R\) のとき \(aRb\) と書き, \(a\) は \(b\) と \(R\)-関係を持つという.
例
\(A=\{a, b, c, d\},\ \ R=\{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, d)\}\)とするとき
\[aRa,\ \ aRb,\ \ aRc,\ \ bRa,\ \ bRd\]
である. \(aRd\) や \(cRa\) ではない.
二項関係に伴って、よく出てくる代表的な概念を紹介します。
※同値関係や順序関係などを考えると出てきます。
反射的(reflexive)
\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a\in A\) に対して \(aRa\) であるとき, \(R\) は反射的(reflective) であるという.
対称的(symmetric)
\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b\in A\) に対して \[aRb\ \Longrightarrow\ bRa\]であるとき, \(R\) は対称的(symmetric) であるという.
反対称的(antisymmetric)
\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b\in A\) に対して \[aRb\ かつ\ bRa\ \Longrightarrow\ a=b\]であるとき, \(R\) は反対称的(antisymmetric) であるという.
推移的(transitive)
\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b, c\in A\) に対して \[aRb\ かつ\ bRc\ \Longrightarrow\ aRc\]であるとき, \(R\) は推移的(transitive) であるという
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