半群とモノイドは、群や環・体などに比べると知っている人は少ないと思いますが、様々な分野に、たまに出現する代数的構造です。ここでは、半群とモノイドの定義を紹介します。
半群（semigroup）の定義
空でない集合 \(S\) と,その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((S, \cdot\ )\) が半群(semigroup)であるとは,
結合則(associative law)
- \( (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) \ \ (\forall a, b, c \in S)\)
を満たすことをいう.
モノイド（monoid）の定義
空でない集合\(M\)と,その上の二項演算\(\cdot\) の組 \((M, \cdot\ )\) がモノイド(monoid)であるとは,
\((M, \cdot\ )\) は半群であって,
- \( \exists e \in M \ \ \forall a \in M \ \ e\cdot a=a\cdot e=a \)
を満たすことをいう.この \(e\in M\) を \(M\) の単位元(unit element)という.
単位元は \(e_M,\ 1,\ 1_M\) などのように書かれることもある.
演算が積\(\ \cdot\ \)のとき, \(a\cdot b\) を単に \(ab\) と書くことが多い.
演算が明らかな場合は単に 半群 \(S\) やモノイド \(M\) と書く.
単位元の一意性
単位元はただ１つ存在する.
証明
\(e^\prime\) も \(G\) の単位元だとすると, 単位元の性質より \(e^\prime = e^\prime e=e\) が成り立つ.
例
自然数全体の集合を \(\mathbf{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}\) , 正の整数全体の集合を \(\mathbf{N}^+=\{1, 2, 3, 4, \ldots \}\),
\(+\) を通常の加法, \(\,\cdot\,\) を通常の積とするとき,
\((M, +)\)は半群, \((S, +), (S, \cdot\ ), (M, \cdot\ )\) はモノイドであり,
\((S, +)\) の単位元は \(0\) , \((S, \cdot\ ), (M, \cdot\ )\) の単位元は \(1\) である.
その他, 整数全体\(\mathbf{Z}\), 有理数全体\(\mathbf{Q}\), 実数全体\(\mathbf{R}\), 複素数全体\(\mathbf{C}\), 体\(K\)上の\(n\)次正方行列全体\(M_n(K)\) なども積や和に関してモノイドである.
また, 整数全体の集合\(\mathbf{Z}\) と演算として減算 \(-\) を考える. この時, 例えば
\[ (10-5)-3=5-3=2\]
であるが
\[10-(5-3)=10-2=8\]
となるので結合則は成立しない. ゆえに \((\mathbf{Z}, -)\) は半群ではない.
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