モリーの法則(Morrie’s law)

倍角の公式より

\[\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\]

なので \(\sin\theta\neq 0\) のとき

\[\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2\sin\theta}\]

これより

\[\cos2\theta=\frac{\sin4\theta}{2\sin2\theta} \\ \cos4\theta=\frac{\sin8\theta}{2\sin4\theta}\]

ゆえに

\[\cos\theta\cos2\theta\cos4\theta=\frac{\sin8\theta}{8\sin\theta}\]

\(\theta=\frac{\pi}{9}\) のとき

\[\sin8\theta=\sin\frac{8\pi}{9}=\sin(\pi-\frac{\pi}{9})=\sin\frac{\pi}{9}\]

なので

\[\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac{\sin\displaystyle \frac{\pi}{9}}{8\sin\displaystyle\frac{\pi}{9}}=\frac{1}{8}\]